ノースコットのゲーム▶プレイ

実は古代のゲーム「ニム」が隠れている古典的な戦略パズル。6本の列にあなたとAIの駒が1つずつあり、相手の駒に近づくことも後ろへ下がることもできます。最後のすき間を閉じたほうが相手を閉じ込めます。運の要素はなく、鍵はひとつのきれいな計算です。

遊び方

盤は8マスの列が6本です。各列には駒がちょうど2つあり、左のオレンジの丸い駒があなた、右の青いひし形がAIです。列の端の数字はその列のすき間、つまり2つの駒の間にある空きマスの数です。いつもあなたが先手です。

自分の番には列を1本選び、その列の自分の駒を好きなだけ動かします。AIの駒に向かって前に進んでも、左の壁に向かって下がってもかまいません。AIの駒を飛び越えたり、その上に乗ったり、盤の外に出たりはできず、必ず1マス以上動かす必要があります。動かすには、駒を移したいマスを押してください。そこに点線のプレビューが出ます。列に沿って指をスライドして位置を調整し、指を離すと移動します。盤の外で指を離すとキャンセルです。AIの駒より先のマスには決して行けないので暗く表示されます。

続いてAIが同じやり方で自分の駒を1つ動かします。AIは常にあなたに向かって前にしか進まず、直前に離れたマスは縞模様、直前に動かした駒は白い枠で示されます。

2つの駒が接してすき間が0になった列は閉じた列です。6本すべてが閉じたとき、手番の側が負けです。本来のゲームならその側はまだ後ろへ下がれますが、下がるたびに相手がそのまま詰めてきて最後は壁際に追い込まれるので、その時点で勝負は決まっています。つまり、自分の番に最後の開いたすき間を閉じれば勝ちです。

AIに勝つと連勝を保ったまま次のゲームが始まり、スコアはその連勝数です。勝つたびにAIも慎重になり、連勝が長いほど甘い手が減ります。一度負けると連勝は終わり、結果カードから殿堂に保存できます。

コツと戦略

駒のことは忘れて、すき間の数字だけを見てください。それが、最も古くから解かれている戦略ゲーム「ニム」の山です。前に進むことは、すき間を1つ好きなだけ減らすことで、1つの山から石を取るのとまったく同じです。後ろに下がるとすき間は大きくなりますが、下がった側の得には決してなりません。相手が同じ距離だけ詰めれば元に戻せるからです。つまりこのゲーム全体が、6つのすき間を山とするニムなのです。

ニムは1901年にチャールズ・バウトンが完全に解きました。すき間をそれぞれ2進数で書き(ここではすき間が6を超えないので1・2・4の位で足ります)、位ごとに1の個数を数えます。1が奇数個の位を「奇数の位」と呼びましょう。すべての位が偶数なら(ニム和が0なら)、手番の側は完璧な相手に対して負けの局面です。奇数の位が1つでもあれば、すべてを再び偶数にする手があり、それが勝ちの手です。たとえばすき間3・5・6は011・101・110で、どの位にも1が2つずつあるので、そこで打つ番の側が負けです。

新しい盤は常にニム和0から始まるので、先手のあなたは負けの局面から出発し、ニム和で完璧に打つAIは甘い手を打ったときにしか負けません。あなたの仕事はその瞬間に気づくことです。AIが打つたびに位を計算し直しましょう。奇数の位があれば、いちばん高い奇数の位に1を持つすき間を選び、すべての位が再び偶数になるまで縮めます。すでにすべて偶数なら、大きなすき間で少しだけ前に進み、AIが間違える機会をできるだけ残しましょう。後ろに下がる手はAIに余裕を与えるだけなので打たないこと。

ノースコットのゲームは、組合せゲームの古典『Winning Ways for Your Mathematical Plays』(1982年)に載っている「変装したニム」の一つです。後ろに下がる手が選択肢を増やしているように見えて、実際には何も変えないので変装が成り立ちます。一度見抜けば盤は6つの小さな数字になり、毎回残る問いは、どの数字をどれだけ減らすかだけです。